Daniel Saada

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Table des matiÈres

 

Définitions, Notations, Prérequis

 0.1 - Événements    13

 0.2 - Algèbres et tribus d’événements       14

 0.3 - Algèbres et tribus engendrées    17

 0.4 - Images directes et réciproques  19

 0.5 - Probabilités sur une tribu          21

 0.6 - Variables aléatoires réelles        25

 0.7 - Familles absolument sommables et sommes doubles 27    

 0.8 - Probabilités discrètes, probabilités diffuses        30

 0.9 - Mesures          31

0.10 - Fonctions indicatrices  34

0.11 - Topologie       37

0.12 - L’Hypothèse du continu          44

0.13 - L’Axiome du choix      46

CHAPITRE 1

Probabilités sur les Algèbres           

1.1 - Atomes d’une algèbre   53

1.2 - Algèbres de cardinal fini            54

1.3 - Algèbres engendrées par une famille finie de parties   54  

1.4 - La formule du crible     56

1.5 – Sommes de fonctions indicatrices       57

1.6 - Description générale d’une algèbre engendrée    59

 

CHAPITRE 2

Probabilités sur les univers dénombrables    

2.1 - Détermination des tribus en univers dénombrable      62

2.2 - Probabilités sur un univers dénombrable         63

2.3 - Une distance qui compactifie P(N)      63

2.4 - L’image d’une probabilité sur N est fermée    66  

2.5 - Cardinal de l’image d’une probabilité sur N    67

2.6 -  Injectivité, surjectivité  d’une probabilité sur N  68

CHAPITRE 3

Le Théorème d’Ulam et ses conséquences     

3.1 - Le Théorème d’Ulam   73

3.2 - Nécessité des tribus en univers non dénombrable     75

3.3 - Mesures extérieure et intérieure attachées à une 

        probabilité      76

3.4 - Les questions que pose le Théorème d’Ulam        78

 

CHAPITRE 4

Ensembles négligeables et complétion des tribus

4.1 - Ensembles négligeables 79

4.2 - Le Lemme de Borel - Cantelli   81

4.3 - Complétion d’une tribu   83

4.4 - Prolongement d’une probabilité à la tribu complétée    84  

4.5 - Deux caractérisations de la tribu complétée      84

4.6 - Prolongement au-delà de la tribu complétée    85

 

CHAPITRE 5

Le Théorème de prolongement de Carathéodory          

et la construction des mesures de Borel    

5.1 - Premier prolongement d’une probabilité définie 

        sur une algèbre      90

5.2 - Le Théorème de  Carathéodory (1927)         91

5.3 - Une formule d’approximation en mesure pour le

        prolongement     94

5.4 - Semi-algèbres   96

5.5 - La mesure de Borel sur [0,1]     98

5.6 - Les mesures de Borel sur les intervalles de R      100

 

CHAPITRE 6

Tribus et familles monotones           

6.1 - Familles monotones      103

6.2 - Le Théorème de la classe monotone       104

6.3 - Unicité du prolongement d’une probabilité    105

6.4 - Un théorème  sur l’indépendance       106

 

CHAPITRE  7

Le Théorème de Zermelo et le transfini   

7.1 – Le Théorème de Zermelo (1904)       110

7.2 - Ensembles bien ordonnés de cardinal aleph1    110

7.3 - Les Z-ensembles              112

7.4 - Réunions transfinies croissantes   112

7.5 - Le raisonnement par récurrence transfinie      114

7.6 - Description transfinie de la tribu engendrée        

        par une algèbre   115

7.7 - Tribu engendrée par une famille quelconque de parties  

7.8 - Cardinal des tribus        124

 

CHAPITRE 8

Les Tribus boréliennes de Rn

8.1 - Définition des  tribus boréliennes       128

8.2 - Les tribus boréliennes ont la puissance du continu    128

8.3 - Les tribus boréliennes sont engendrées par les ouverts  

8.4 - Description transfinie des tribus boréliennes      130

8.5 - Boréliens et fonctions continues    132

8.6 - Approximations en mesure des boréliens        132

8.7 - Parties boréliennes et ensembles compacts     134

8.8 - Construction de boréliens négligeables non dénombrables 

 

CHAPITRE 9

Probabilités sur les boréliens de R  

9.1 - Existence de mesures diffuses sur la tribu des boréliens 

9.2 - Fonction de répartition d’une probabilité       141

9.3 – Probabilités sur les boréliens de R        142

9.4 - Simulation de variables aléatoires       147

9.5 - Fonction de répartition d’une loi binomiale     149

 

TRIBUS ET PROBABILITÉS

 

CHAPITRE 10

De Borel à Lebesgue     

10.1 - La mesure de Lebesgue sur un intervalle borné    151

10.2 - L’ensemble triadique de Cantor       152

10.3 - Des exemples de non boréliens       154

10.4 – Écriture des mesurables bornés       155

10.5 - La mesure intégrale de Lebesgue sur R   157

10.6 - La tribu L(R) des mesurables 159

 

CHAPITRE 11

Naissance de l’Intégrale      

11.1 - Fonctions étagées sur une algèbre       166

11.2 - Intégrale d’une fonction étagée       169

11.3 - Le Théorème de convergence monotone pour les  

         fonctions étagées  171

11.4 - Le Théorème de convergence bornée pour les fonctions 

          étagées       172

11.5 - Premier prolongement de l’intégrale       173

11.6 - Fonctions mesurables sur une tribu       176

11.7 - Fonctions intégrables pour une mesure de probabilité    181

11.8 - Les Théorèmes de convergence monotone ou dominée  185  

11.9 - Intégration sur un événement de la tribu       187

 

CHAPITRE 12

Applications de l’intégrale aux probabilités        

12.1 – Espérance d’une variable aléatoire discrète        191

12.2 - Les inégalités de Markov et de Bienaymé -Tchebychev  192   

12.3 - Probabilités définies par une intégrale       194

12.4 - Mesures absolument continues devant une autre       196

12.5 - Le Théorème de décomposition de Hahn-Jordan     198

12.6 - Le Théorème de Radon-Nikodym               200

12.7 - Caractérisation des mesures  m’ ≤ m       204

12.8 - Le Théorème  de Lebesgue-Radon-Nikodym     205

 

CHAPITRE 13

Probabilités sur un univers produit      

13.1 - Produits de deux univers         207

13.2 - Produit de deux mesures         211

13.3 - Mesures de probabilité sur  R2             214

13.4 - Mesures de probabilité sur Rn              216

13.5 - Linéarité de l’espérance mathématique        217

 

CHAPITRE 14

Les fonctions boréliennes   

 14.1 - Définition des fonctions boréliennes       224

 14.2 - Le Théorème du transfert      224

 14.3 - Espérance d’une variable aléatoire bornée           226

 14.4 - Le Théorème d’Egorov            228

 14.5 - Continuité des restrictions d’une fonction         230

 14.6 – Le Théorème de Lusin          230

 14.7 - Exemples de fonctions non boréliennes       232

 14.8 - Exemples de non boréliens     235

 14.9 - La  classification de Baire des fonctions       235

14.10 - Continuité des fonctions de première classe de Baire  239     

 

CHAPITRE 15

Le jeu de pile ou face

15.1 - L’univers du Jeu            243

15.2 - La tribu du Jeu           244

15.3 - La probabilité du Jeu   245

15.4 - La Loi forte des grands nombres       247

15.5 - La correspondance avec les boréliens de [0,1]      249

 

CHAPITRE 16

Mesures additives sur les parties de N

16.1 - Densité arithmétique d’une partie de N    255

16.2 - Construction de mesures additives sur N       256

16.3 - Aucune probabilité p sur N ne vérifie p(k.N) = 1/k   258    

16.4 - Existence de négligeables infinis pour  les mesures diffuses  simplement additives   259

 

CHAPITRE 17

Le Théorème de Zorn et ses applications        

17.1 – Chaînes  d’un ensemble ordonné       262

17.2 - Le Théorème de Zorn (1935)  263

17.3 – Un Théorème de Banach           266

17.4 – Atomes d’une mesure    268

17.5 - Le Théorème  de Liapounov pour une mesure        270

17.6 – L’image d’une tribu est fermée       273

 

CHAPITRE 18

Convergences d’une suite de probabilités        

18.1 - Convergence sur une tribu            279

18.2 - Un Théorème de Lebesgue sur les séries à termes positifs  281

18.3 - Convergence sur un univers dénombrable       282

18.4 - L’inégalité de Le Cam (1960)  283

18.5 - Le Théorème de Nikodym      284

 

CHAPITRE 19

Convergences des variables aléatoires

19.1 - L’origine de la convergence en probabilité           292

19.2 - La convergence en loi    292

19.3 - La convergence presque sûre   297

19.4 - Convergence de lois de probabilités sur R       298